Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若是上的有界函數(shù)，且的上界為3，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）值域為，函數(shù)在上不是有界函數(shù),詳見解析（2）

【解析】

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域，從值域上觀察不存在正數(shù)M，即函數(shù)在x∈（0，+∞）上不是有界函數(shù)．，

（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，得到|1+2x+4x|≤3，換元以后得到關于t的不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對稱軸，求出a的范圍．

（1）當時，，

因為在上遞增，所以，

即在的值域為，故不存在常數(shù)，使成立，

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù).

（2）由已知函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，即：|1+a2x+4x|≤3

設t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化為|1+at+t2|≤3

當0時，1且2+a≤3得﹣2<a＜0

當或時，即a≤﹣2或a≥0時，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1，

綜上有.