【題目】如圖所示，四棱錐中，平面，，，.

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）存在；證明見解析（2）

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面；取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，由已知結(jié)合中位線的性質(zhì)可得且，進(jìn)而可得，由線面平行的判定即可得證；

（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的一個(gè)法向量為與平面的一個(gè)法向量為，利用即可得解.

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明如下：

取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，則且，

，，

且，

四邊形為平行四邊形，

，

平面，平面，

平面.

（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線的垂線，

平面，，，

直線、和兩兩垂直，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線、和為軸、軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作交直線于，

，，，

，，

從而可得，，，，，

則，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得

，

平面和平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.

C.D.

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（2）若點(diǎn)E是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AE、BE與直線分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，橢圓C上是否存在點(diǎn)T使的面積為？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；

平均車速超過的人數(shù)

平均車速不超過的人數(shù)

合計(jì)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計(jì)

（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：

臨界值表：

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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（1）求的軌跡方程；

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（ⅰ）求面積最大值；

（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

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