Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=n（an+1），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1=1，
∴數(shù)列{an+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴an+1=2n ，
∴an=﹣1+2n；
（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n2n=n2n﹣1 ，
∴Tn=120+22+…+n2n﹣1 ，
2Tn=12+222…+（n﹣1）2n﹣1+n2n ，
錯位相減得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n2n
=﹣n2n
=﹣1﹣（n﹣1）2n ，
于是Tn=1+（n﹣1）2n ．
【解析】（1）通過對an+1=2an+1變形可知an+1+1=2（an+1），進而可知數(shù)列{an+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知bn=n2n﹣1 ， 進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項和，需要了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能得出正確答案．