Question

已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，若存在唯一的實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）；（3）當時，存在常數(shù)，使；當時，不存在常數(shù)，使.

解析試題分析：（1）這是一個求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的問題，比較簡單，可以通過導數(shù)的符號去判斷；（2）這是一個兩方程有公共解且公共解唯一的問題，消去參數(shù)后就轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的關(guān)于未知數(shù)的三次方程有唯一解的問題，可利用三次函數(shù)的圖象判斷；（3）可設(shè)，然后把點的坐標和都用表示，再考察關(guān)于的等式恒成立，從而去確定常數(shù)是否存在.
試題解析：(1)當時， .             2分
令f ¢(x)<0，解得，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為．          4分
(2) ，
由題意知消去，得有唯一解．  6分
令，則，
以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，   8分
又，，
故實數(shù)的取值范圍是．               10分
(3) 設(shè)，則點處切線方程為，
與曲線：聯(lián)立方程組，得，即，所以點的橫坐標．         12分
由題意知，，，
若存在常數(shù)，使得，則，
即常數(shù)，使得，
所以常數(shù)，使得解得常數(shù)，使得，．    15分
故當時，存在常數(shù)，使；當時，不存在常數(shù)，使．16分
考點：函數(shù)與方程、導數(shù)的綜合應用.