【題目】如圖,在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求異面直線AC1與D1E所成角的余弦值;
(2)求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得向量與向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.
(2)先求得平面BED1F的一個(gè)法向量,向量的坐標(biāo),再利用線面角向量方法求解.
(1) 因?yàn)?/span>DA,DC,DD1兩兩垂直,所以分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
因?yàn)槔忾L為 3, A1E=CF=1,
則D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),E(3,0,2),F(0,3,1).
所以=(-3,3,3),=(3,0,-1),
所以cos〈〉=
=
=-,
所以異面直線 AC1與 D1E 所成角的余弦值是.
(2)設(shè)平面 BED1F的法向量是=(x,y,z),
又因?yàn)?/span>=(0,-3,2),=(-3,0,1),⊥,⊥,
所以·=0, ·=0,
即,令z=3,
得x=1,y=2,所以=(1,2,3).
又=(-3,3,3),
所以cos〈,〉=
==,
所以直線 AC1與平面 BED1F 所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某北方村莊4個(gè)草莓基地,采用水培陽光栽培方式種植的草莓個(gè)大味美,一上市便成為消費(fèi)者爭相購買的對象.光照是影響草莓生長的關(guān)鍵因素,過去50年的資料顯示,該村莊一年當(dāng)中12個(gè)月份的月光照量X(小時(shí))的頻率分布直方圖如下圖所示(注:月光照量指的是當(dāng)月陽光照射總時(shí)長).
(1)求月光照量(小時(shí))的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備按照月光照量來分層抽樣,抽取一年中的4個(gè)月份來比較草莓的生長狀況,問:應(yīng)在月光照量,,的區(qū)間內(nèi)各抽取多少個(gè)月份?
(3)假設(shè)每年中最熱的5,6,7,8,9,10月的月光照量是大于等于240小時(shí),且6,7,8月的月光照量是大于等于320小時(shí),那么,從該村莊2018年的5,6,7,8,9,10這6個(gè)月份之中隨機(jī)抽取2個(gè)月份的月光照量進(jìn)行調(diào)查,求抽取到的2個(gè)月份的月光照量(小時(shí))都不低于320的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若關(guān)于的不等式對于任意恒成立,求整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們有沒有讀過莎士比亞的名劇《威尼斯商人》?數(shù)學(xué)家斯摩林在劇中增加了一個(gè)情節(jié):安東尼奧到鮑西婭家向她求婚,鮑西婭拿出一金、一銀、一鋁三個(gè)盒子,說:“每只盒子上寫了一句話,但只有一句是真的.誰能猜中我的肖象在哪只盒子中,才能做我的丈夫”.如果你是聰明、政治的安東尼奧,請問肖象在哪個(gè)盒子內(nèi)?(請從金盒、銀盒、鋁盒中選擇一個(gè)填在橫線上)________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)證明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的邊長AB=3,側(cè)棱AA1=2,E是棱CC1的中點(diǎn),點(diǎn)F滿足 =2.
(1)求異面直線FE和DB1所成角的余弦值;
(2)記二面角E-B1F-A的大小為θ,求|cosθ|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直線AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值;
(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí),取得極值,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱柱中,為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上,平面
(1) 證明:是的中點(diǎn);
(2) 設(shè),四邊形為邊長為4正方形,四邊形為矩形,且異面直線與所成的角為,求該三棱柱的體積.
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