Question

【題目】棱長為2的正方體在平面上的射影的面積最大值等于________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

對正方體而言，無論從外部那個角度看，最多只能看到三個面，所以可只考慮共頂點的三個面在某一個平面上的射影的面積的最值就就足夠了，正方體共頂點在平面上的射影的面積記為，這三個平面與平面所成二面角分別記為，則

，可證，利用基本不等式，可求出的最大值，即可得出結論.

先推導一個結論：

三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，

三側面與底面所成的二面角分別記為，則有

成立，以下證明：

如圖，是在底面上的射影，

連并延長分別交三邊于，

連，兩兩互相垂直，

平面平面，

平面，

是二面角的平面角，記為，

同理另兩側面與底面所成二面角分別為

記為，三側面及底面的面積分別記為

平面，（射影面積公式），

同理，①

平面，，

，②

①代入②，；

正方體的邊長為2，每個面的面積為4，

正方體共頂點在平面上的射影的面積記為，

這三個平面與平面所成二面角分別記為，則

，

，

當且僅當，即，等號成立，

正方體在平面上的射影是如下圖所示的正六邊形，其面積最大為.

故答案為:.