【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x﹣1)+ (a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調遞增,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線4x﹣3y﹣2=0相切,求a的值.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ln(x﹣1)+ ,
則f′(x)= ,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上單調遞增,
∴ 在x∈(1,4)上恒成立.
即a≥ 在x∈(1,4)上恒成立.
令g(x)= ,則g′(x)= .
當x∈(1,3)時,g′(x)>0,當x∈(3,4)時,g′(x)<0.
∴g(x)在(1,3)上為增函數(shù),在(3,4)上為減函數(shù),
∴g(x)max=g(3)=﹣8.
則a≥﹣8;
(2)解:設切點坐標為(x0,y0),則f′(x0)= ,
則 ,①
f(x0)= ,②
聯(lián)立①,②解得:x0=2,a=3
【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),由題意可得f′(x)≥對任意x∈(1,4)恒成立,分離參數(shù)a,可得a≥ ,利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)= 在(1,4)上的最大值得答案;(2)設出切點坐標,求出函數(shù)在切點處的導數(shù),可得切線斜率,再由兩函數(shù)在切點處的函數(shù)值相等求得a的值.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3﹣1;當﹣1≤x≤1時,f(﹣x)=﹣f(x);當x> 時,f(x+ )=f(x﹣ ).則f(6)=( 。
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N* .
(1)求通項公式an;
(2)求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項和.
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【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗(噸)標準煤的幾組對照數(shù)據(jù):
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;
(2)已知該廠技術改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤?
(參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式, )
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【題目】
已知橢圓兩個焦點的坐標分別是, ,并且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2) 已知是橢圓的左頂點,斜率為的直線交橢圓于, 兩點,
點在上, , ,證明: .
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【題目】已知集合A={x|﹣5+21x﹣4x2<0},B={x∈Z|﹣3<x<6},則(RA)∩B的元素的個數(shù)為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線L經(jīng)過點P(-2,5),且斜率為 .
(1)求直線L的方程.
(2)求與直線L平行,且過點(2,3)的直線方程.
(3)求與直線L垂直,且過點(2,3)的直線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】解答題
(1)求函數(shù)f(x)=xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)在0<x≤ 上的最大值;
(2)證明:不等式x1﹣x+(1﹣x)x≤ 在(0,1)上恒成立.
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