Question

【題目】已知定義在上的函數(shù).

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得,,分，,三種情況討論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間即可;

令,把函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)判斷其單調(diào)性并求極值,得到關(guān)于的不等式,解不等式即可.

由題意知,，

令得或，

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)由，得或；由，得；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)由，得或；由，得；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

綜上可知,當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

令，則，

則，令，解得，

當(dāng)時(shí),；當(dāng)或時(shí),，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值為，

當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值為，

使函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，

即直線和函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

由單調(diào)性，只需滿足，

即，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.