【題目】已知橢圓的長軸長為6,離心率為 ,F(xiàn)2為橢圓的右焦點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點M在圓x2+y2=8上,且M在第一象限,過M作圓x2+y2=8的切線交橢圓于P,Q兩點,判斷△PF2Q的周長是否為定值并說明理由.
【答案】解:(I)根據(jù)已知,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 , ∴2a=6,a=3, ,c=1;
b2=a2﹣c2=8,
(II)△PF2Q的周長是定值,
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則 ,
,
∵0<x1<3,
∴ ,
在圓中,M是切點,
∴ ,
∴ ,
同理|QF2|+|QM|=3,
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6,
因此△PF2Q的周長是定值6
【解析】(Ⅰ)由題意可知:2a=6, ,求得a和c的值,由b2=a2﹣c2 , 求得b,寫出橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),分別求出|F2P|,|F2Q|,結(jié)合相切的條件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2 , 可得 ,同理|QF2|+|QM|=3,即可證明;
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【題目】已知定義在區(qū)間[﹣3,3]上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:對任意的x∈[﹣3,3],都有f(f(x)﹣2x)=6,則在[﹣3,3]上隨機取一個實數(shù)x,使得f(x)的值不小于4的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設(shè)橢圓C: + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 點A({2, )在橢圓上,且滿足 =0. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m與橢圓C交于P,Q兩點,且OP⊥OQ,是否存在圓x2+y2=r2使得l恰好是該圓的切線,若存在,求出r;若不存在,說明理由.
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【題目】已知D= ,給出下列四個命題: P1:(x,y)∈D,x+y+1≥0;
P2:(x,y)∈D,2x﹣y+2≤0;
P3:(x,y)∈D, ≤﹣4;
P4:(x,y)∈D,x2+y2≤2.
其中真命題的是( )
A.P1 , P2
B.P2 , P3
C.P2 , P4
D.P3 , P4
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【題目】已知橢圓的一個頂點為,焦點在軸上,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓與直線相交于不同的兩點,當(dāng)時,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知集合且,設(shè).
若2,3,4,5,和2,3,4,5,,分別求S的值;
若集合A中所有元素之和為55,求S的最小值;
若集合A中所有元素之和為103,求S的最小值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 + =1(a>b>0)的離心率為 ,C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點.
(1)若點C的坐標(biāo)為(2, ),求a,b的值;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點,B為橢圓上一點,且 = ,求直線AB的斜率.
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【題目】隨著生活水平和消費觀念的轉(zhuǎn)變,“三品一標(biāo)”(無公害農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、有機食品和農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志)已成為不少人的選擇,為此某品牌植物油企業(yè)成立了有機食品快速檢測室,假設(shè)該品牌植物油每瓶含有機物A的概率為p(0<p<1),需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機物A,若化驗結(jié)果呈陽性則含A,呈陰性則不含A.若多瓶該種植物油檢驗時,可逐個抽樣化驗,也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗,僅當(dāng)至少有一瓶油含有有機物A時混合油樣呈陽性,若混合油樣呈陽性,則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗.
(1)若 ,試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率;
(2)現(xiàn)有4瓶該種植物油需要化驗,有以下兩種方案: 方案一:均分成兩組化驗;方案二:混在一起化驗;請問哪種方案更適合(即化驗次數(shù)的期望值更小),并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx.
(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0時,求函數(shù)f(x)在 上的最小值;
(3)記函數(shù)y=f(x)的圖象為曲線C,設(shè)點A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線C上的不同兩點,點M為線段AB的中點,過點M作x軸的垂直交曲線C于點N,判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB,并說明理由.
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