Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

a

16

）的定義域?yàn)镽，命題Q：不等式a＞

1

x+1

對(duì)x∈（0，+∞）均成立，如果“P或 Q”為真命題，“P且Q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)命題P為真時(shí)，可得a＞2；當(dāng)命題Q為真時(shí)，可得a≥1．“P或 Q”為真命題，“P且Q”為假命題，說(shuō)明P、Q當(dāng)中一個(gè)是真命題，另一個(gè)是假命題．再討論當(dāng)P真Q假時(shí)和當(dāng)Q真P假時(shí)的兩種情況，可得符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：“P或 Q”為真命題，“P且Q”為假命題，說(shuō)明P、Q當(dāng)中一個(gè)是真命題，另一個(gè)是假命題．
命題P：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

a

16

）的定義域?yàn)镽，說(shuō)明

a＞0 1-4×a× a 16 ＜0

⇒a＞2
命題Q：不等式a＞

1

x+1

對(duì)x∈（0，+∞）均成立，說(shuō)明a＞（

1

x+1

）_max，可得a≥1
當(dāng)P真Q假時(shí)，不存在a的值符合條件；當(dāng)Q真P假時(shí)，a∈[1，2]
所以符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．當(dāng)“P或 Q”為真命題，“P且Q”為假命題時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)命題中有且僅有一個(gè)為真命題，這是考試常見(jiàn)的題意．