Question

【題目】已知正邊長為3，點M，N分別是AB，AC邊上的點，，如圖1所示.將沿MN折起到的位置，使線段PC長為連接PB，如圖2所示.

（1）求證：平面平面BCNM；

（2）若點D在線段BC上，且，求平面PDM和平面PDC所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出AN⊥MN，即PN⊥MN，PN⊥NC，從而PN⊥平面BCNM，由此能證明平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）以N為坐標原點，NM為x軸，NC為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

解：（I）證明：依題意，在中，，，，

由余弦定理，，

解得

根據(jù)勾股定理得，

∴，即，

在圖2中，，，，

∴，

∴，

∵，

∴平面BCNM，

∵平面PMN，

∴平面平面.

（2）解：以N為坐標原點，NM為x軸，NC為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，

，，

設(shè)平面MPD的一個法向量），

則，取，

得，

設(shè)平面PDC的法向量，

則，

取，得，

設(shè)所求角為

∴

.