【題目】已知為正整數(shù),各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足:,記數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值;
(3)若為奇數(shù),求證:“”的充要條件是“為奇數(shù)”.
【答案】(1);(2)或;(3)見解析.
【解析】
(1)利用遞推公式直接代入求值.
(2)分類討論當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)的情況,再討論為奇數(shù)和偶數(shù)的情況,求得的值.
(3)先證充分性(易證得),再證必要性,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解:(1),,則前7項(xiàng)為8,4,2,1,3,5,7,故.
(2)由題設(shè)是整數(shù).
①若為奇數(shù),可設(shè),,則是偶數(shù),得,
則,此時,符合題意
②若為偶數(shù),可設(shè),,則,
當(dāng)是偶數(shù)時,可設(shè),得,,
則,此時不存在.
當(dāng)是奇數(shù)時,可設(shè),得,,
,則,得 ,得.
綜合①②可得,或.
(3)充分性:若為奇數(shù),則;
必要性:先利用數(shù)學(xué)歸納法證:(為奇數(shù));(為偶數(shù)).
①,,成立;
②假設(shè)時,(為奇數(shù));(為偶數(shù)).
③當(dāng)時,當(dāng)是偶數(shù),;當(dāng)是奇數(shù),,此時是偶數(shù).
綜上,由數(shù)學(xué)歸納法得(為奇數(shù));(為偶數(shù)).
從而若時,必有是偶數(shù).進(jìn)而若是偶數(shù),則矛盾,故只能為奇數(shù).
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),線段的中垂線為,求直線在軸上的截距的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校開設(shè)了射擊選修課,規(guī)定向、兩個靶進(jìn)行射擊:先向靶射擊一次,命中得1分,沒有命中得0分,向靶連續(xù)射擊兩次,每命中一次得2分,沒命中得0分;小明同學(xué)經(jīng)訓(xùn)練可知:向靶射擊,命中的概率為,向靶射擊,命中的概率為,假設(shè)小明同學(xué)每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.現(xiàn)對小明同學(xué)進(jìn)行以上三次射擊的考核.
(1)求小明同學(xué)恰好命中一次的概率;
(2)求小明同學(xué)獲得總分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列中,,點(diǎn)在拋物線上.數(shù)列中,點(diǎn)在經(jīng)過點(diǎn),以為方向向量的直線上.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)若,問是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(3)對任意的正整數(shù),不等式成立,求正數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的底面為等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將邊長為5的菱形ABCD沿對角線AC折起,頂點(diǎn)B移動至處,在以點(diǎn)B',A,C,為頂點(diǎn)的四面體AB'CD中,棱AC、B'D的中點(diǎn)分別為E、F,若AC=6,且四面體AB'CD的外接球球心落在四面體內(nèi)部,則線段EF長度的取值范圍為( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校藝術(shù)學(xué)院2019級表演專業(yè)有27人,播音主持專業(yè)9人,影視編導(dǎo)專業(yè)18人.某電視臺綜藝節(jié)目招募觀眾志愿者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從上述三個專業(yè)的人員中選取6人作為志愿者.
(1)分別寫出各專業(yè)選出的志愿者人數(shù);
(2)將6名志愿者平均分成三組,且每組的兩名同學(xué)選自不同的專業(yè),通過適當(dāng)?shù)姆绞搅谐鏊锌赡艿慕Y(jié)果,并求表演專業(yè)的志愿者與播音主持專業(yè)的志愿者分在一組的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,元素成為集合的特征元素,對于中的元素與,定義:.當(dāng)時,若a是集合中的非特征元素,則的概率為___.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com