【題目】已知雙曲線=1P為雙曲線右支上除x軸上之外的一點.

1)若∠F1PF2,求△F1PF2的面積.

2)若該雙曲線與橢圓+y2=1有共同的焦點且過點A2,1),求△F1PF2內(nèi)切圓的圓心軌跡方程.

【答案】(1) b2(2) x=y≠0).

【解析】

1)設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,運用雙曲線的定義和余弦定理,三角形的面積公式,化簡可得所求面積;

2)由內(nèi)切圓的切線的性質(zhì)和雙曲線的定義,化簡可得內(nèi)心的橫坐標(biāo)為a,求得雙曲線的方程,可得所求軌跡方程.

解:(1F1PF2,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,

由雙曲線的定義可得m-n=2a,

4c2=m2+n2-2mncosθ=m-n2+2mn-2mncosθ=4a2+2mn1-cosθ),

可得mn=,

F1PF2的面積為S=mnsinθ=b2=b2

2)如圖所示:F1-c,0)、F2c,0),

設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點是點H,

PF1、PF2與內(nèi)切圓的切點分別為A、B,

由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a

由圓的切線長定理知,|PA|=|PB|,

|AF1|-|BF2|=2a,

|HF1|-|HF2|=2a

設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x,則點H的橫坐標(biāo)為x

故(x +c-c-x=2a,

x=a

該雙曲線與橢圓+y2=1有共同的焦點(±,0),

且過點A2,1),可得a2+b2=3,-=1

解得a=,b=1,

可得F1PF2內(nèi)切圓的圓心軌跡方程為x=y≠0).

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(1)求,;

(2)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)?

附:

.

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編號

1

2

3

4

5

x

169

178

166

175

180

y

75

80

77

70

81

已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98.

1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;

2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;

3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).

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(3)若對任意的,總存在,使不等式成立,求正實數(shù)的取值范圍.

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