【題目】已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為B(0,4),離心率e= ,直線l交橢圓于M,N兩點.
(1)若直線l的方程為y=x﹣4,求弦MN的長;
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l方程的一般式.
【答案】
(1)
解:由已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為B(0,4),
∴b=4,
又∵離心率e= ,
即 ,
∴ ,解得a2=20,
∴橢圓方程為 ;
由4x2+5y2=80與y=x﹣4聯(lián)立,
消去y得9x2﹣40x=0,
∴x1=0, ,
∴所求弦長
(2)
解:橢圓右焦點F的坐標為(2,0),
設線段MN的中點為Q(x0,y0),
由三角形重心的性質(zhì)知 ,又B(0,4),
∴(2.﹣4)=2(x0﹣2,y0),
故得x0=3,y0=﹣2,
求得Q的坐標為(3,﹣2);
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=﹣4,
且 ,
以上兩式相減得 ,
∴ ,
故直線MN的方程為 ,即6x﹣5y﹣28=0.
【解析】(1)由已知中橢圓 (a>b>0)的一個頂點為B(0,4),離心率e= ,根據(jù)e= ,b=4,a2=b2+c2可求出橢圓的標準方程,進而求直線l的方程及弦長公式,得到弦MN的長;(2)設線段MN的中點為Q(x0 , y0),結合(1)中結論,及△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,由重心坐標公式,可得Q點坐標,由中點公式及M,N也在橢圓上,求出MN的斜率,可得直線l方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將沿DE,EF,DF折成正四面體,則在此正四面體中,下列說法正確的是______.
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為;
;
與PD所成的角為;
與EF所成角為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知P是直線上的一個動點,圓Q的方程為:設以線段PQ為直徑的圓E與圓Q交于C,D兩點.
證明:PC,PD均與圓Q相切;
當時,求點P的坐標;
求線段CD長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若F2關于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心為半徑的圓上,則雙曲線C的離心率為 _____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且cos = .
(1)若a=3,b= ,求c的值;
(2)若f(A)=sin ( cos ﹣sin )+ ,求f(A)的取值范圍.
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【題目】已知直線l: (t為參數(shù),α為l的傾斜角),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C為:ρ2﹣6ρcosθ+5=0.
(1)若直線l與曲線C相切,求α的值;
(2)設曲線C上任意一點的直角坐標為(x,y),求x+y的取值范圍.
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【題目】如果函數(shù)f(x)= 滿足:對于任意的x1 , x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a2恒成立,則a的取值范圍是( )
A.[﹣ ]
B.[﹣ ]
C.(﹣ ]
D.(﹣ ]∪[ )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】銳角△ABC中,其內(nèi)角A,B滿足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D為AB的中點,CD=1,求△ABC面積的最大值.
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