Question

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）．
（1）若過點(diǎn)P（0，4 ）的直線l與圓C：x2+y2﹣8x=0相切，求直線l的方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)A（1，0），過點(diǎn)A作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C：x2+y2﹣8x=0化為（x﹣4）2+y2=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4．

斜率不存在時(shí)，x=0滿足題意；

斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx+4 ，即kx﹣y+4 =0，

根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得4= ，解得k=﹣ ，

故切線方程為y=﹣ x+4 ，

綜上所述，直線l的方程為y=﹣ x+4 或x=0

（2）解：以O(shè)M為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣ ）= +1，

其圓心為（1， ），半徑r=

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)為2

所以圓心到直線3x﹣4y﹣5=0的距離d= = ，解得t=4

所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5

（3）證明：設(shè)N（x0，y0），則 =（x0﹣1，y0）， =（2，t）， =（x0﹣2，y0﹣t）， =（x0，y0），

∵ ⊥ ，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，

又∵ ⊥ ，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，

∴x02+y02=2x0+ty0=2，

所以| |= = 為定值

【解析】（1）圓C：x2+y2﹣8x=0化為（x﹣4）2+y2=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4，分類討論即可求直線l的方程；（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長(zhǎng)，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；（3）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由 ⊥ 得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又 ⊥ ，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長(zhǎng)，從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值．