【題目】已知雙曲線的左、右頂點分別為，直線與雙曲線交于，直線交直線于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若點的軌跡與矩形的四條邊都相切，探究矩形對角線長是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)利用交軌法，求出點的軌跡方程；(2) 設點，過點作橢圓的切線，則切線的斜率存在且不為0，設斜率為，則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，得.由得到

，這個關于的一元二次方程的兩根即為與，

由，可知，即，即點為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，故矩形對角線長為定值.

試題解析：

（1）設點， ， ，其中.

由題意，得， .

由，①

，②

兩式相乘得.

∵，

∴，

代入上式得

，

由①與，得，

①÷②，得.

故點的軌跡方程為.

（2）設點，過點作橢圓的切線，

則切線的斜率存在且不為0，設斜率為，

則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，

得.

，

即.

這個關于的一元二次方程的兩根即為與，

由，

得.

設為坐標原點，故可知，

同理，得，

即點為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，

故矩形對角線長為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司欲生產一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圈上一點（異于，），點在線段上，且滿足.已知，，設.

（1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大.當為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；

（2）為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達到最大.當為何值時，取得最大值，并求該最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（　�。�

A. 有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B. 四棱錐的四個側面都可以是直角三角形

C. 有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D. 棱臺的各側棱延長后不一定交于一點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】母線長為，底面半徑為的圓錐內有一球，與圓錐的側面、底面都相切，現(xiàn)放入一些小球，小球與圓錐底面、側面、球都相切，這樣的小球最多可放入__________個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點為拋物線內一定點，過作兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點．

（1）當時，求△的面積的最小值；

（2）若且，證明：直線過定點，并求定點坐標。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風景區(qū)在一個直徑為米的半圓形花圓中設計一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點（與不重合），沿修一條直線段小路，在路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側（注意是一側）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計。

（1）設（弧度），將綠化帶的總長度表示為的函數(shù)；

（2）求綠化帶的總長度的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率是，且橢圓經過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與圓相切：

（�。┣髨A的標準方程；

（ⅱ）若直線過定點，與橢圓交于不同的兩點，與圓交于不同的兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2015年12月10日，我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎，以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標準療法，目前，國內青蒿人工種植發(fā)展迅速，調查表明，人工種植的青蒿的長勢與海撥高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標有極強的相關性，現(xiàn)將這三項的指標分別記為，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標的值評定人工種植的青蒿的長勢等級，若，則長勢為一級；若，則長勢為二極；若，則長勢為三級，為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況，研究人員隨機抽取了10塊青蒿人工種植地，得到如下結果：

種植地編號












種植地編號












（1）若該地有青蒿人工種植地180個，試估計該地中長勢等級為三級的個數(shù)；

（2）從長勢等級為一級的青蒿人工種植地中隨機抽取兩個，求這兩個人工種植地的綜合指標均為4個概率.

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