Question

【題目】已知橢圓的離心率是，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與圓相切：

（ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（ⅱ）若直線過定點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與圓交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】試題分析：

（1）由橢圓過點(diǎn)和其離心率可得，故可得橢圓的方程．（2）由題可得直線的斜率存在，設(shè)出直線的方程后根據(jù)直線與橢圓、圓的位置關(guān)系分別求出弦長，求得后根據(jù)所得目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)選擇求最值的方法求解即可．

試題解析：

(1) 橢圓經(jīng)過點(diǎn)，

，解得

，

，解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2) (i)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為，

∵直線： 與圓相切，

∴圓的半徑,

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（ⅱ）由題可得直線的斜率存在,設(shè),

由消去整理得，

∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

∴，

解得．

設(shè),

則

∴

，

又圓的圓心到直線的距離,

∴圓截直線所得弦長,

，

設(shè)

則,

,

∵，

∴ ，

∵的取值范圍為．