Question

【題目】已知函數(shù)，證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；

（2）有且僅有2個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè),對求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞減,利用零點存在性定理可得在上有唯一的零點,進而求證即可；

（2）利用導(dǎo)函數(shù)分別討論,,的單調(diào)性,判斷函數(shù)圖象的性質(zhì),進而求證即可.

證明:(1)設(shè),

當時,,

所以在上單調(diào)遞減,

又因為,,

所以在上有唯一的零點,

即函數(shù)在上存在唯一零點,

當時,,在上單調(diào)遞增；

當時,,在上單調(diào)遞減,

所以在上存在唯一的極大值點

(2)①由(1)知:在上存在唯一的極大值點,

所以,

又因為,

所以在上恰有一個零點,

又因為,

所以在上也恰有一個零點,

②當時,,,

設(shè),,

所以在上單調(diào)遞減,所以,

所以當時,恒成立,

所以在上沒有零點,

③當時,,

設(shè),,

所以在上單調(diào)遞減,

所以,

所以當時,恒成立,

所以在上沒有零點,

綜上,有且僅有兩個零點.