【題目】已知拋物線的焦點為,直線,過點且與拋物線分別交于點和點,弦和的中點分別為,若,則下列結論正確的是
(______________)
①的最小值為32
②以四點為頂點的四邊形的面積的最小值為128
③直線過定點
④焦點可以同時為弦和的三等分點
【答案】①②③
【解析】
依題意得直線的斜率均存在,設,,直線,把直線方程和拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理和拋物線的定義分別求出的表達式,利用基本不等式求最值即可判斷①;求出四邊形面積的表達式,利用基本不等式求最值即可判斷②;表示出坐標,進而得到直線的方程即可判斷③;假設點為弦的三等分點,不妨設,利用平面向量的坐標表示進行求解,根據能否推出矛盾判斷④即可.
依題意得直線的斜率均存在,且,
設,,直線,
聯(lián)立方程,整理可得,
所以,則,
因為,以代替可得,,
所以,
當且僅當時取等號,所以①正確;
因為,所以四邊形的面積,
當且僅當時取等號,所以②正確;
因為,,
所以直線的方程為,
即,恒過定點,故③正確;
若點為弦的三等分點,不妨設,
則,所以,
即,又,
解得(舍去),或,
代入,得,與兩直線垂直矛盾,故④錯誤.
故答案為:①②③
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了解學生對消防安全知識的掌握情況,開展了網上消防安全知識有獎競賽活動,并對參加活動的男生、女生各隨機抽取20人,統(tǒng)計答題成績,分別制成如下頻率分布直方圖和莖葉圖:
(1)把成績在80分以上(含80分)的同學稱為“安全通”.根據以上數據,完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為是否是“安全通”與性別有關
男生 | 女生 | 合計 | |
安全通 | |||
非安全通 | |||
合計 |
(2)以樣本的頻率估計總體的概率,現從該校隨機抽取2男2女,設其中“安全通”的人數為,求的分布列與數學期望.
附:參考公式,其中.
參考數據:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】(2018·湖南師大附中摸底)已知直線l經過點P(-4,-3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則直線l的方程是________.
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【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系,共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2013年以來,“一帶一路”建設成果顯著下圖是2013-2017年,我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖,下列描述正確的是( ).
A.這五年,2013年出口額最少
B.這五年,出口總額比進口總額多
C.這五年,出口增速前四年逐年下降
D.這五年,2017年進口增速最快
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】現有四個函數①y=x|sinx|,②y=xcos|x|,③,④y=xln|x|的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照圖象從左到右的順序,對應的函數序號正確的一組是( )
A.①④②③B.①④③②C.③②④①D.③④②①
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),曲線的參數方程為(為參數),曲線與軸交于兩點.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線的普通方程及曲線的極坐標方程;
(2)若直線與曲線在第一象限交于點,且線段的中點為,點在曲線上,求的最小值.
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【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數學期望.
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【題目】從2017年1月18日開始,支付寶用戶可以通過“掃‘!帧焙汀皡⑴c螞蟻森林”兩種方式獲得?ǎ◥蹏、富強福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),除夕夜22:18,每一位提前集齊五福的用戶都將獲得一份現金紅包.某高校一個社團在年后開學后隨機調查了80位該校在讀大學生,就除夕夜22:18之前是否集齊五福進行了一次調查(若未參與集五福的活動,則也等同于未集齊五福),得到具體數據如下表:
是 | 否 | 合計 | |
男 | 30 | 10 | 40 |
女 | 35 | 5 | 40 |
合計 | 65 | 15 | 80 |
(1)根據如上的列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為“集齊五福與性別有關”?
(2)計算這80位大學生集齊五福的頻率,并據此估算該校10000名在讀大學生中集齊五福的人數;
(3)為了解集齊五福的大學生明年是否愿意繼續(xù)參加集五;顒樱摯髮W的學生會從集齊五福的學生中,選取2位男生和3位女生逐個進行采訪,最后再隨機選取3次采訪記錄放到該大學的官方網站上,求最后被選取的3次采訪對象中至少有一位男生的概率.
參考公式: .
附表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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