Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)在上存在極大值M，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求得，利用和 即可求得函數(shù) 的單調(diào)性區(qū)間；

（2）求得函數(shù)的解析式，求，對的情況進(jìn)行分類討論得到函數(shù)有極大值的情形，再結(jié)合極大值點的定義進(jìn)行替換、即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

則，

當(dāng)時，令，所以函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間中單調(diào)遞減，

當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù) 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由函數(shù)，則，

令，可得

令，解得，

當(dāng)時. ，函數(shù)在 單調(diào)遞增，此時，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時不存在極大值，

當(dāng)時，令 解得，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為在上存在極大值，所以，解得，

因為，

易證明，存在時，，

存在使得，

當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即，，

由，

所以