Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1) 證明：PB∥平面AEC

(2) 設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積

試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．

又E為PD的中點，所以EO∥PB.

因為EO平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標原點， ，AD，AP的方向為x軸y軸z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系Axyz，則D，E， ＝.

設B(m，0，0)(m>0)，則C(m， ，0)， ＝(m， ，0)．

設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，

則即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，

由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因為E為PD的中點，所以三棱錐EACD的高為.三棱錐EACD的體積V＝××××＝.