【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍.
【答案】見解析
【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當(dāng)a<0時(shí),對(duì)x∈R,有f′(x)>0,
∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0,解得x<-或x>,
由f′(x)<0,解得-<x<,
∴當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-),(,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-,).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,
解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
因?yàn)橹本y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),
結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知:
m的取值范圍是(-3,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱中,底面是矩形,且, , ,若為的中點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,說明理由.
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【題目】(1) 為何值時(shí), .①有且僅有一個(gè)零點(diǎn);②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大;
(2)若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).
(1)若=6,求k的值;
(2)求四邊形AEBF面積的最大值.
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【題目】某區(qū)工商局、消費(fèi)者協(xié)會(huì)在月號(hào)舉行了以“攜手共治,暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng),著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí).組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取名群眾,按他們的年齡分組:第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)若電視臺(tái)記者要從抽取的群眾中選人進(jìn)行采訪,求被采訪人恰好在第組或第組的概率;
(Ⅱ)已知第組群眾中男性有人,組織方要從第組中隨機(jī)抽取名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì),求至少有兩名女性的概率.
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【題目】設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a的值,并求此時(shí)函數(shù)的最大值.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}中公差d≠0,有a1+a4=14,且a1,a2,a7成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn;
(Ⅱ)令bn= (k<0),若{bn}是等差數(shù)列,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
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【題目】用長為,寬為的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器.先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn),再焊接而成(如圖).問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),的兩個(gè)極值點(diǎn)為,().
①證明:;
②若,恰為的零點(diǎn),求的最小值.
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