Question

【題目】已知A(a,0)、B(0,b)（其中ab≠0）O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足,求P點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)是線(xiàn)段AB的n+1（n≥1）等分點(diǎn)，當(dāng)n=2018時(shí)，求的值；

（3）若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=1；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn),即點(diǎn)在直線(xiàn)上,

再求直線(xiàn)的截距式方程即可；

（2）設(shè)依次為從A起始的2019個(gè)等分點(diǎn)，可得，再首尾相加可得的值；

（3）的幾何意義是：線(xiàn)段上的一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，求最小值即可.

解: （1）因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

即,

即點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn),即點(diǎn)在直線(xiàn)上,

由直線(xiàn)的截距式方程可得: P點(diǎn)的軌跡方程為=1；

（2）不妨設(shè)依次為從A起始的2019個(gè)等分點(diǎn)，于是有, ,

所以，事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)，若，

則有，，

即，

所以

,

所以；

（3）當(dāng)a=b=1,根據(jù)題意，在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得 , ,

且有點(diǎn) ，,則有,

,則的幾何意義是：線(xiàn)段上的一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和，又直線(xiàn)的方程為， 易得點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，根據(jù)反射定律可得即為所求的最小值，又，

故的最小值為.