【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+
(I) 當(dāng)a= 時,判斷f(x)在其定義上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 其中x1<x2 . 求證:
(i)f(x2)>0;
(ii)x1+x2

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
a= 時,f(x)=xlnx﹣ x2+ ,f′(x)=lnx+1﹣x,f″(x)= ,
當(dāng)0<x<1時,f″(x)>0,當(dāng)x>1時,f″(x)<0,
∴f′(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
∴f′(x)max=f′(1)=0,
∴f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)遞減;
(Ⅱ)證明:(i)∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,
∴由函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2
得函數(shù)f′(x)=lnx+1﹣2ax,x>0有兩個零點(diǎn)x1 , x2
∵f″(x)= ﹣2a= ,
當(dāng)a≤0時,有f″(x)>0此時f′(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴不符合,
∴a>0此時x∈(0, )時,f″(x)>0,x∈( ,+∞)時,f″(x)<0
∴f′(x)在x∈(0, )上單調(diào)遞增,在x∈( ,+∞)上單調(diào)遞減
又f′(x)有兩個零點(diǎn)x1 , x2 ,
∴f′( )>0,∴l(xiāng)n >0,∴ >1,∴0<a< ,
∴當(dāng)x∈(0,x1)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(x1 , x2)時,f′(x)>0,
當(dāng)x∈(x2 , +∞)時,f′(x)<0
∴f(x)在x∈(0,x1)上單調(diào)遞減,在x∈(x1 , x2)上單調(diào)遞增,
在x∈(x2 , +∞)上單調(diào)遞減
又f′(1)=1﹣2a>0,∴1∈(x1 , x2
∴f(x2)>f(1)=﹣a+ >0;
(ii)由(i)得:0<a<
且lnx1+1=2ax1 , lnx2+1=2ax2 ,
∴l(xiāng)nx1+lnx2+2=2a(x1+x2),
lnx1﹣lnx2=2a(x1﹣x2),
∴l(xiāng)n(x1x2)+2= ln ,
令t= ,則0<t<1,且lnx1x2+2= lnt…①,
而lnx1+lnx2+2=2a(x1+x2)…②,
由①②,可得x1+x2 2a(x1+x2)>2
lnx1+lnx2+2>2 lnt>2
lnt< lnt﹣ <0,
下面證明:當(dāng)t∈(0,1)時,lnt﹣ <0,
令h(t)=lnt﹣ ,h′(t)= >0,
∴h(t)在(0,1)遞增,h(t)<h(1)=0,
∴l(xiāng)nt﹣ <0,
∴x1+x2
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,求出f′(x)max=f′(1)=0,從而求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)(i)函數(shù)f'(x)=lnx+1﹣2ax,x>0有兩個零點(diǎn)x1 , x2 , 討論a>0,a≤0,再求導(dǎo)數(shù),得到f′( )>0,從而0<a< ,再討論f(x)的單調(diào)性,即可得證;(ii)得到ln(x1x2)+2= ln ,令t= ,問題轉(zhuǎn)化為證明lnt﹣ <0在(0,1)恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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【題目】 屆夏季奧林匹克運(yùn)動會將于2016年8月5日 21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行.下表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位:枚).

 

第31屆里約

第30屆倫敦

第29屆北京

第28屆雅典

第27屆悉尼

中國

26

38

51

32

28

俄羅斯

19

24

24

27

32

(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體數(shù)值,給出結(jié)論即可);

(2)下表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和 (從第 屆算起,不包括之前已獲得的金牌數(shù))隨時間 (時間代號)變化的數(shù)據(jù):

27

28

29

30

31

時間代號(x)

1

2

3

4

5

金牌數(shù)之和(y枚)

28

60

111

149

175

作出散點(diǎn)圖如下:

①由圖中可以看出,金牌數(shù)之和 與時間代號 之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請求出 關(guān)于 的線性回歸方程;

②利用①中的回歸方程,預(yù)測2020年第32屆奧林匹克運(yùn)動會中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù).

參考數(shù)據(jù):,

附:對于一組數(shù)據(jù) ,,,其回歸直線的斜率的最小二乘估計(jì)為

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=

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