【題目】在直角坐標系中,已知中心在原點,離心率為的橢圓的一個焦點為圓: 的圓心.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓上一點,過作兩條斜率之積為的直線, ,當直線, 都與圓相切時,求的坐標.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ),或,或,或.
【解析】試題分析:(1)圓心坐標是已知的,故橢圓的焦點是已知的,從而半焦距已知了,又有離心率,故半長軸長也能求出,從而求出,而根據(jù)題意,橢圓方程是標準方程,可其方程易得;(2)設(shè)P點坐標為,再設(shè)一條切線的斜率為,則另一條切線的斜率為,三個未知數(shù)需要三個方程,點P在橢圓上,一個等式,兩條直線都圓的切線,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個等式,三個等量關(guān)系,三個未知數(shù)理論上可解了,當然具體解題時,可設(shè)切線斜率為,則點斜率式寫出直線方程,利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程,而是這個方程的兩解,由韋達定理得,這個結(jié)果又是,就列出了關(guān)于P點坐標的一個方程,再由P點在橢圓上,可解出P點坐標.
試題解析:(1)圓的標準方程為,圓心為,所以,又, , ,而據(jù)題意橢圓的方程是標準方程,故其方程為.4分
(2)設(shè),得
∵,依題意到的距離為
整理得同理
∴是方程的兩實根10分
12分
∴14分
16分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知A、B、C是一條直路上的三點,AB與BC各等于1 km,從三點分別遙望塔M,在A處看見塔在北偏東45°方向,在B處看塔在正東方向,在點C處看見塔在南偏東60°方向,求塔到直路ABC的最短距離.
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【題目】已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級學(xué)生,將全體四年級學(xué)生隨機按00~99編號,并且按編號順序平均分成10組.現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生,各組內(nèi)抽取的編號按依次增加10進行系統(tǒng)抽樣.
(1)若抽出的一個號碼為22,則此號碼所在的組數(shù)是多少?據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號碼;
(2)分別統(tǒng)計這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示,求該樣本的方差;
(3)在(2)的條件下,從這10名學(xué)生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生,求被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率.
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【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45 名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書法社團 | 未參加書法社團 | |
參加演講社團 | 8 | 5 |
未參加書法社團 | 2 | 30 |
(1)從該班隨機選 1 名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率;
(2)在既參加書法社團又參加演講社團的 8 名同學(xué)中,有 5 名男同學(xué),3名女同學(xué).現(xiàn)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機選 1 人,求被選中且未被選中的概率.
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【題目】已知橢圓()的左右焦點分別為、,離心率.過的直線交橢圓于、兩點,三角形的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若弦,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2, .
(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.
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【題目】如圖所示,一輛汽車從市出發(fā)沿海岸一條直公路以的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在市南偏東30°方向距市的海上處有一快艇與汽車同時出發(fā),要把一份稿件送給這輛汽車的司機.問快艇至少以多大的速度,以什么樣的航向行駛才能最快把稿件送到司機手中?
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【題目】已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)過點且斜率為的直線交曲線于, 兩點,若,當時,求的取值范圍.
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【題目】一條光線經(jīng)過P(2,3)點,射在直線l:x+y+1=0上,反射后穿過點Q(1,1).
(1)求入射光線的方程;
(2)求這條光線從P到Q的長度.
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