Question

定義：對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”.
（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為定義域上的“局部奇函數(shù)”？若是，求出滿足的的值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）是“局部奇函數(shù)”；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）利用局部奇函數(shù)的定義，建立方程關(guān)系，然后判斷方程是否有解，有解則是“局部奇函數(shù)”，若無解，則不是；（2）（3）都是利用“局部奇函數(shù)的定義”，建立方程關(guān)系，并將方程有解的問題轉(zhuǎn)化成二次方程根的分布問題，從而求出各小問參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)，方程即，有解
所以為“局部奇函數(shù)”
（2）法一：當(dāng)時(shí)，可化為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/55/a/11ehx2.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/7/1mygk3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程在上有解
令，則，設(shè)，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即；
法二：當(dāng)時(shí)，可化為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/55/a/11ehx2.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/7/1mygk3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程即在上有解
令，則關(guān)于的二次方程在上有解即可保證為“局部奇函數(shù)”
設(shè)，當(dāng)方程在上只有一解時(shí)，須滿足或，解之得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)方程在區(qū)間有兩解，不符合這種情況）或；
當(dāng)方程在上兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，須滿足
，綜上可知；
（3）當(dāng)為定義域上的“局部奇函數(shù)”時(shí)
,可化為，
令則,
從而在有解,即可保證為“局部奇函數(shù)”
令，則
①當(dāng)時(shí),在有解,即,解得
②當(dāng)時(shí),在有解等價(jià)于
解得;綜上可知.
考點(diǎn)：1.新定義；2.函數(shù)與方程；3.一元二次方程根的分布問題.