【題目】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，是焦點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，且，問線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，說明理由.

【答案】（1）（2）過，

【解析】

（1）由條件可知，并且點(diǎn)代入橢圓方程，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，則，與橢圓方程聯(lián)立，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，

并表示線段的垂直平分線方程，利用條件，求得直線所過的定點(diǎn)，并說明當(dāng)斜率不存在時，也滿足.

（1）由于橢圓的離心率為，，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，得，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意知，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則.

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得.

由韋達(dá)定理可得，①，

所以，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

則線段的垂直平分線方程為，即，

即，此時，線段的垂直平分線過定點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的垂直平分線就是軸，也過點(diǎn)；

綜上所述，線段的垂直平分線過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，試問：是否存在，使得，且成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，且，求證：.

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【題目】已知函數(shù)，.

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（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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（1）求的值；

（2）任取兩個不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。

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【題目】在如圖所示的三棱柱中，平面，，，的中點(diǎn)為，若線段上存在一點(diǎn)使得平面.

（1）求的長；

（2）求二面角的大小.

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