【題目】已知函數(shù)的最大值為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）求的值；

（2）任取兩個不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分情況得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求得在處取得最值，進而求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，構(gòu)造函數(shù)，通過換元將等式右邊的函數(shù)改為，對此函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性進而得證.

（1）由題意得，顯然，∵，∴，

令，解得，

①.當(dāng)時，令，解得；令，解得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值，也是最大值，

∴，解得；

②當(dāng)時，易知與題意不符，故舍去，

綜上所述，；

（2）由（1）知，則，∴，

∴，即，

則

，

設(shè)，則，

令，則，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴，即，又，

∴，即，∴，

同理可證，得證。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面真角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立根坐標系．曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是橢圓上的點，是焦點，離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)是橢圓上的兩點，且，問線段的垂直平分線是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，底面為矩形， .側(cè)面底面.

（1）證明： ；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，，求的最大整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實數(shù)），求λ2+μ2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，已知點，為坐標原點.若的最小值為3.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點作直線，交拋物線于兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到g（x）的圖象，給出下列四個命題：

①函數(shù)f（x）的表達式為；

②g（x）的一條對稱軸的方程可以為；

③對于實數(shù)m，恒有；

④f（x）+g（x）的最大值為2．其中正確的個數(shù)有（　�。�

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，.

（1）求的解析式，并判斷零點的個數(shù)；

（2）若，且對任意的恒成立，求k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

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