Question

【題目】如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），.

（1）若，，求；

（2）已知，記四邊形的面積為.

① 求的最大值；

② 若對于常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（直接寫結(jié)果，不需要過程）

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①；②.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）①在和中利用余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系可得，根據(jù)三角形面積公式可得，兩式平方后作和可得，當(dāng)時，可求得的最大值；②由可知，根據(jù)①可知，的范圍由的范圍決定，求解出且，且為鈍角、為銳角；根據(jù)的單調(diào)性可求得最小值，從而求得得到結(jié)果.

（1）在中，，，

由余弦定理得：

在中，，，

由余弦定理得：

即：，解得：

（2）①在和中，由余弦定理得：

整理可得：

面積：，即：

即：

當(dāng)時，即，時，

四邊形面積的最大值為：

②

由①知：，則需研究的范圍.

當(dāng)增大時，增大，從而隨之增大

所以，當(dāng)趨于共線時，趨于，其中鈍角滿足

當(dāng)減小時，減小，從而隨之減小

所以，當(dāng)趨于共線時，趨于，其中銳角滿足

令，則在上遞增，在上遞減

并且，，

，即