Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，S_n=．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和的公式．

Answer 1

解：（1）∵S_n=a_n（n∈N^*），①
∴S_n+1=a_n+1（n∈N^*），②
②-①得：a_n+1=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=a_n，
∴=，又a₁=2，
a_n=a_n-1=×a_n-2=××…×a₁
=na₁=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2n×3ⁿ，③
∴3T_n=2×3²+4×3³+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，④
③-④得：-2T_n=2×3+2×3²+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
∴-T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=-n×3ⁿ⁺¹
=（-n）3ⁿ⁺¹-，
∴T_n=（n-）3ⁿ⁺¹+．
分析：（1）由S_n=a_n可得S_n+1=a_n+1，兩式相減可求得=，再結(jié)合a₁=2，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和．
點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列{a_n}的通項公式是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與推理能力，屬于中檔題．