在平面直角坐標(biāo)系中,已知過(guò)點(diǎn)的橢圓:的右焦點(diǎn)為,過(guò)焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,,試問(wèn)是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1),(2),(3).
解析試題分析:(1)求橢圓方程,基本方法是待定系數(shù)法.關(guān)鍵是找全所需條件. 橢圓中三個(gè)未知數(shù)的確定只需兩個(gè)獨(dú)立條件,根據(jù)橢圓定義:點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離和為,求出的值,再由求出的值,就可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,可直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo);又由點(diǎn)及,可得直線方程,再由方程與橢圓方程解出A點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)式就可寫(xiě)出直線的方程,(3)直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題就要從其位置關(guān)系出發(fā),先根據(jù)直線AB垂直軸的特殊情況下探求的值,再利用點(diǎn)共線及點(diǎn)在橢圓上條件,逐步消元,直到定值.本題難點(diǎn)在如何利用條件消去參數(shù). 點(diǎn)共線可得到坐標(biāo)關(guān)系,而利用點(diǎn)差法得到斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
試題解析:(1)由題意,得,即, 2分
又,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 5分
(2),,又, ,
直線:, 7分
聯(lián)立方程組,解得, 9分
直線:,即. 10分
(3)當(dāng)不存在時(shí),易得,
當(dāng)存在時(shí),設(shè),,則,
,,兩式相減, 得,
,令,則, 12分
直線方程:,,
,直線方程:,, 14分
,又,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓,左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn),為正三角形且周長(zhǎng)為6,直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、,橢圓上的點(diǎn)滿足,且△的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線與直線的交點(diǎn)為,證明:點(diǎn)總在直線上.
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在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)C為W上一點(diǎn),且,過(guò)兩點(diǎn)分別作W的切線,記兩切線的交點(diǎn)為. 判斷四邊形是否為梯形,并說(shuō)明理由.
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如圖,已知是橢圓的右焦點(diǎn);圓與軸交于兩點(diǎn),其中是橢圓的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),試判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(3)設(shè)直線與圓交于另一點(diǎn),若的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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已知橢圓C:的離心率為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在y軸正半軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M滿足,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
給定橢圓C:,若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.
(I)求橢圓C的方程;
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q滿足且=0,其中N為橢圓的下頂點(diǎn),求直線在y軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且L與的兩個(gè)焦點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn)),求的取值范圍。
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