【題目】某學校為進行“陽光運動一小時”活動,計劃在一塊直角三角形的空地上修建一個占地面積為(平方米)的矩形健身場地。如圖,點在上,點在上,且點在斜邊上,已知米,米,,設矩形健身場地每平方米的造價為元,再把矩形以外(陰影部分)鋪上草坪,每平方米的造價為元(為正的常數).
(1)試用表示,并指出如何設計矩形的長和寬,才能使得矩形的面積最大,且求出的最大值;
(2)求總造價關于面積的函數,說明如何選取,使總造價最低(不要求求出最低造價).
【答案】(1) ,,當米,米時,才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.
(2) ,,當或18米時,使總造價最低.
【解析】
(1)在△中,求出,利用即可求出解析式,利用二次函數的圖象與性質即可求解;
(2)求出△的面積,即可表示出陰影部分的面積,結合題意即可求出總造價的解析式,結合基本不等式求最值,即可求解.
(1)在△中,,所以,.根據二次函數的圖象與性質可知,當時,有最大值為,所以當米,米時,才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.
(2)在△中,,所以△的面積為,則矩形健身場地的造價為,草坪的造價為,所以總造價關于面積的函數,由(1)知,,故,由基本不等式可知,當且僅當取等號,令或18,所以當或18米時,使總造價最低.
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調查機構借助網絡進行了問卷調查,并從參與調查的網友中隨機抽取了200人進行抽樣分析,得到下表(單位:人):
(Ⅰ)根據以上數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關?(Ⅱ)①現從所抽取的30歲以上的網民中,按“經常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人,然后,再從這10人中隨機選出3人贈送優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經常使用共享單車的概率.
②將頻率視為概率,從市所有參與調查的網民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經常使用共享單車的人數為,求的數學期望和方差.
參考公式: ,其中.
參考數據:
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【題目】已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與交于、兩點,線段的中點為.
(1)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;
(2)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求出的方程;若不能,說明理由.
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【題目】已知橢圓的焦距為2,過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的面積為,過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點,線段的中點為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點垂直于的直線與軸交于點,且,求的值.
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【題目】如圖,透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1內灌進一些水,固定容器底面一邊BC于水平地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度不同,有下面五個命題:
①有水的部分始終呈棱柱形;
②沒有水的部分始終呈棱柱形;
③水面EFGH所在四邊形的面積為定值;
④棱A1D1始終與水面所在平面平行;
⑤當容器傾斜如圖(3)所示時,BEBF是定值.
其中所有正確命題的序號是 ____.
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【題目】下列判斷中正確的是( )
A. “若,則有實數根”的逆否命題是假命題
B. “”是“直線與直線平行”的充要條件
C. 命題“”是真命題
D. 命題“”在時是假命題
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【題目】已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同直線的極坐標方程為,曲線C的參數方程為為參數,設直線l與曲線C交于A,B兩點.
寫出直線的普通方程與曲線C的直角坐標方程;
已知點P在曲線C上運動,求點P到直線距離的最大值.
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