Question

【題目】已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓心C在第二象限，半徑為．

（1）求圓C的方程．

（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，寫出滿足條件的直線條數(shù)（不要求過(guò)程）；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，4條.

【解析】

（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；

（2）分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩類情況，討論直線和圓相切分別求解.

（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，

設(shè)圓心，在第二象限，則，即，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

化為一般方程：，

則，解得：，或（舍去），

所以圓C的方程：；

（2）由題直線l與圓C相切，直線在x軸、y軸上的截距相等，

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率必存在，設(shè)斜率為，直線方程與圓相切，

則圓心到直線距離等于半徑，即，

，，有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩條過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程，與圓相切，

，得，解得或，兩條直線，

所以一共4條直線.