Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求在處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）先由題設條件求得，再由導數的幾何意義求得在處的切線的斜率（1），進而求得切線方程；

（Ⅱ）先求導，再對分成：①當時；②當時；③當時；④當時；進行討論，得出結果．

（Ⅰ）已知函數，

則的定義域為：，

，

則（1），又（1），

在處的切線方程為，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

①當時，，此時在時單調遞增，在，時單調遞減；

②當時，，此時在時單調遞增；

③當時，令，有，或，

此時在與時單調遞增，在單調遞減；

④當時，在與，時單調遞增，在，時單調遞減；

⑤當時，在時單調遞增，在，時單調遞減；

綜上可知：

當時，在時單調遞增，在，時單調遞減；

當時，在與，時單調遞增，在，時單調遞減；

當時，，此時在時單調遞增；

當時，在與時單調遞增，在單調遞減．