【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于直線l:ax+by+c=0和點(diǎn)P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),記η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,則稱點(diǎn)P1 , P2被直線l分隔,若曲線C與直線l沒有公共點(diǎn),且曲線C上存在點(diǎn)P1、P2被直線l分隔,則稱直線l為曲線C的一條分隔線.
(1)求證:點(diǎn)A(1,2),B(﹣1,0)被直線x+y﹣1=0分隔;
(2)若直線y=kx是曲線x2﹣4y2=1的分隔線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E,求證:通過原點(diǎn)的直線中,有且僅有一條直線是E的分隔線.
【答案】
(1)證明:把點(diǎn)(1,2)、(﹣1,0)分別代入x+y﹣1 可得(1+2﹣1)(﹣1﹣1)=﹣4<0,
∴點(diǎn)(1,2)、(﹣1,0)被直線 x+y﹣1=0分隔
(2)解:聯(lián)立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2=1,根據(jù)題意,此方程無解,故有 1﹣4k2≤0,
∴k≤﹣ ,或 k≥ .
曲線上有兩個(gè)點(diǎn)(﹣1,0)和(1,0)被直線y=kx分隔
(3)證明:設(shè)點(diǎn)M(x,y),則 |x|=1,故曲線E的方程為[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.
y軸為x=0,顯然與方程①聯(lián)立無解.
又P1(1,2)、P2(﹣1,2)為E上的兩個(gè)點(diǎn),且代入x=0,有 η=1×(﹣1)=﹣1<0,
故x=0是一條分隔線.
若過原點(diǎn)的直線不是y軸,設(shè)為y=kx,代入[x2+(y﹣2)2]x2=1,可得[x2+(kx﹣2)2]x2=1,
令f(x)=[x2+(kx﹣2)2]x2﹣1,
∵k≠2,f(0)f(1)=﹣(k﹣2)2<0,∴f(x)=0沒有實(shí)數(shù)解,
k=2,f(x)=[x2+(2x﹣2)2]x2﹣1=0沒有實(shí)數(shù)解,
即y=kx與E有公共點(diǎn),
∴y=kx不是E的分隔線.
∴通過原點(diǎn)的直線中,有且僅有一條直線是E的分隔線.
【解析】(1)把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),再根據(jù)η<0,得出結(jié)論.(2)聯(lián)立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2=1,根據(jù)此方程無解,可得1﹣4k2≤0,從而求得k的范圍.(3)設(shè)點(diǎn)M(x,y),與條件求得曲線E的方程為[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.由于y軸為x=0,顯然與方程①聯(lián)立無解.把P1、P2的坐標(biāo)代入x=0,由η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得x=0是一條分隔線.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一般式方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握直線的一般式方程:關(guān)于的二元一次方程(A,B不同時(shí)為0)才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行,這是2017年我國重要的主場外交活動(dòng),對推動(dòng)國際和地區(qū)合作具有重要意義.某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對“一帶一路”的關(guān)注情況,在全校組織了“一帶一路知多少”的知識(shí)問卷測試,并從中隨機(jī)抽取了12份問卷,得到其測試成績(百分制),如莖葉圖所示.
(1)寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù),若該校共有3000名學(xué)生,試估計(jì)該校測試成績在70分以上的人數(shù);
(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人.
①記表示選取4人的成績的平均數(shù),求;
②記表示測試成績在80分以上的人數(shù),求的分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角梯形中, , , , 分別為, 的中點(diǎn),以為圓心, 為半徑的圓交于,點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)(如圖).若,其中, ,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)命中的概率可視為,為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法,先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),用0,1,2 沒有擊中,用3,4,5,6,7,8,9 表示擊中,以 4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組, 代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
7525,0293,7140,9857,0347,4373,8638,7815,1417,5550
0371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù),則可估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)人有n把鑰匙,其中只有一把可以打開房門,他隨意的進(jìn)行試開,若試開過的鑰匙放在一邊,試開次數(shù)X為隨機(jī)變量,則P(X=k)=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)為2,并且當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若為奇函數(shù),求的值;
(2)試判斷在內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明.
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