【題目】【2018河南濮陽市高三一模】已知點(diǎn)在拋物線上， 是拋物線上異于的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)．

（I）證明：直線過定點(diǎn)；

（II）過點(diǎn)作直線的垂線，求垂足的軌跡方程．

【答案】（I）證明見解析；（II）．

【解析】試題分析：（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用，代入根與系數(shù)的關(guān)系，求得，代入直線方程，得到定點(diǎn)；（2）根據(jù)（1）可知，點(diǎn)的軌跡滿足圓的方程，以為直徑的圓去掉，寫出圓的方程即可.

試題解析：(1)點(diǎn)在拋物線上，代入得，所以拋物線的方程為，

由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，

聯(lián)立得，得， ，

由于，所以，即，

即.(*)

又因?yàn)?/span>， ，

代入(*)式得，即，

所以或，即或.

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，不合題意，

所以直線恒過定點(diǎn).

(2)由(1)，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓且去掉，方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè)，以增加收入，政府計(jì)劃共投入72萬元，全部用于甲、乙兩個(gè)合作社，每個(gè)合作社至少要投入15萬元，其中甲合作社養(yǎng)魚，乙合作社養(yǎng)雞，在對(duì)市場進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益M、養(yǎng)雞的收益N與投入a（單位：萬元）滿足，N＝a+20．設(shè)甲合作社的投入為x（單位：萬元），兩個(gè)合作社的總收益為f（x）（單位：萬元）．

（1）當(dāng)甲合作社的投入為25萬元時(shí)，求兩個(gè)合作社的總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)合作社的投入，才能使總收益最大，最大總收益為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為創(chuàng)建國家級(jí)文明城市，某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù)；

(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2(注：利潤與投資量的單位：萬元)．

(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該公司已有10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線．

(1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；

(2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效．求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓，其中，焦距為2，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在A，M之間．又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若的圖像在直線下方，求b的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上的最小值為0，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn)，如圖所示，則下列命題中的真命題是________（寫出所有真命題的編號(hào)）．

①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面中最多只有三個(gè)面是直角三角形；②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有；③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積的定值；④若點(diǎn)是正方體的面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且到點(diǎn)和距離相等，則點(diǎn)的軌跡是一條線段．

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