Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí)，討論函數(shù)在時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由可知，區(qū)間是不等式解集的子集，由此可得出實(shí)數(shù)的不等式，解出即可；

（Ⅱ）由題意可知，，則，令，可得出，令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，先討論方程的根的個(gè)數(shù)及根的范圍，進(jìn)而得出方程的根個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論.

（Ⅰ），，

對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有成立，

則區(qū)間是不等式解集的子集，，解得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（Ⅱ），由題意可知，，，

令，得，令，

則，作出函數(shù)和函數(shù)在時(shí)的圖象如下圖所示：

作出函數(shù)在時(shí)的圖象如下圖所示：

①當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，

此時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程的根為，

而方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有兩根、，

且，，

方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有兩根分別為、，

方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；

⑤當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，且，

方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

⑥當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，

方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).