Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）求的單調區(qū)間和值域；
（Ⅱ）設，函數(shù)，若對于任意，總存在使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞減區(qū)間為，的單調遞增區(qū)間為，
的值域為[-4，-3]
（Ⅱ）

【錯解分析】利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識，同時要培養(yǎng)自已的求導及解不
等式的運算能力。第（Ⅱ）問要注意將問題進行等價轉化即轉化為函數(shù)在區(qū)間上的值域
是函數(shù)的值域的子集，從而轉化為求解函數(shù)在區(qū)間上的值域。
【正解】(Ⅰ) ，令解得或,在，所以為單調遞減函數(shù)；在，所以為單調遞增函數(shù)；又，即的值域為[-4，-3]，所以的單調遞減區(qū)間為，的單調遞增區(qū)間為，的值域為[-4，-3].( 單調區(qū)間為閉區(qū)間也可以).
（Ⅱ）∵,又，當時，，
因此，當時，為減函數(shù)，從而當時，有.
又，即當時，有，
任給，有，存在使得，
則又，所以的取值范圍是。
【點評】高考對導數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學問題的工具出現(xiàn)，側重于考查導數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應用，主要有以下幾個方面：①運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)最值問題，一直是高考長考不衰的熱點內容．另一方面，從數(shù)學角度反映實際問題，建立數(shù)學模型，轉化為函數(shù)的最大值與最小值問題，再利用函數(shù)的導數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題．用導數(shù)研究函數(shù)的性質比用初等方法研究要方便得多，單調區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間，對于函數(shù)單調區(qū)間的合并:函數(shù)單調區(qū)間的合并主要依據是函數(shù)在單調遞增，在單調遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。