(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD =1.M是棱SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與面SAB所成的角為,求sin的最大值,
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.
(Ⅲ)時(shí),.
解析試題分析:(Ⅰ)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則
, ,,,,.
則.
設(shè)平面SCD的法向量是則
即
令,則,于是.
,.
AM∥平面SCD. …………………………(4分)
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量為.設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為,
則,即.
平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.………………………(8分)
(Ⅲ)設(shè),則.
又,面SAB的法向量為,
所以,.
.
當(dāng),即時(shí),.…………………………(12分)
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中線面平行及角的計(jì)算,空間向量的應(yīng)用
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明及角的計(jì)算問題是高考中的必考題,通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,可使問題簡(jiǎn)化。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在三棱錐P-ABC中,底面△ABC為等邊三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4,O為AC的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:BO⊥PA;
(Ⅱ)判斷在線段AC上是否存在點(diǎn)Q(與點(diǎn)O不重合),使得△PQB為直角三角形?若存在,試找出一個(gè)點(diǎn)Q,并求的值;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,.于點(diǎn),是中點(diǎn).
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面⊥平面;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分16分)
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,.以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面切于點(diǎn).
(1)求證:PD⊥平面;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)。
(I)求三棱錐D1—ACE的體積;
(II)求異面直線D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、G分別是BC、C1D1的中點(diǎn),如圖所示.
(1)求證:BD⊥A1C;
(2)求證:EG∥平面BB1D1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分) 如圖,在直三棱柱中,、分別是、的中點(diǎn),點(diǎn)在上,。
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在對(duì)角線A1C1上,記二面角P-AB-C為α,二面角P-BC-A為β。
(1)當(dāng)A1P:PC1=1:3時(shí),求cos(α+β)的大小。
(2)點(diǎn)P是線段A1C1(包括端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),α+β有最小值?
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