【題目】如圖,在直角坐標(biāo)中,設(shè)橢圓的左右兩個焦點分別為,過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個交點為.

(1)求橢圓的方程;

(2>已知經(jīng)過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點,請問是否存在常數(shù),使得向量共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1) 2)不存在常數(shù),使得向量共線.

【解析】試題分析:(1)由過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個交點為 ,可得 ,再根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理列方程求得 從而得進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得,,解得, 共線等價于根據(jù)韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)運算法則可得關(guān)于的方程,解得,從而可得結(jié)論.

試題解析:(1)由橢圓定義可知.

由題意,.

又由可知 ,,

,得.

橢圓的方程為.

2)設(shè)直線的方程為,

代入橢圓方程,得

整理,得

因為直線與橢圓有兩個不同的交點等價于

解得

設(shè),,

由①得

因為, 所以

所以共線等價于

將②③代入上式,解得

因為

所以不存在常數(shù),使得向量共線.

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  ②

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