【題目】如圖，設(shè)雙曲線的上焦點為，上頂點為，點為雙曲線虛軸的左端點，已知的離心率為，且的面積.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為，動直線與相切于點，與的準(zhǔn)線相交于點，試推斷以線段為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的某個定點？若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）以為直徑的圓恒經(jīng)過軸上的定點.

【解析】試題分析：（1）由離心率得，再由的面積得，解方程組得.（2）先轉(zhuǎn)化條件為恒等式問題：存在定點滿足題設(shè)條件，則對任意點恒成立，再設(shè)點，根據(jù)條件求出，利用向量數(shù)量積得對任意實數(shù)恒成立，最后根據(jù)恒等式得，解出定點的坐標(biāo).

試題解析：解：（1）由已知，即，則，即，得， ，

又，則，得.

從而， ，所以雙曲線的方程為.

（2）由題設(shè)，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，

由，得，設(shè)點，則直線的方程為，

即，聯(lián)立，得，

假設(shè)存在定點滿足題設(shè)條件，則對任意點恒成立，

因為， ，則，

即對任意實數(shù)恒成立，

所以，即，故以為直徑的圓恒經(jīng)過軸上的定點.

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