Question

直線l：x+y-4=0，圓x²+y²=4，A為直線上一點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC=60°，則滿足條件的點(diǎn)A橫坐標(biāo)最大值是

4

．

Answer 1

分析：先確定從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，進(jìn)而求出OA的長度為4，故可轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)O的距離為4．

解答：解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設(shè)切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠POQ為120°，所以O(shè)A的長度為4，
故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點(diǎn)，使它到點(diǎn)O的距離為4．
設(shè)A（x₀，4-x₀），則∵O（0，0），∴x₀²+（4-x₀）²=16
∴x₀=0或4
∴滿足條件的點(diǎn)A橫坐標(biāo)最大值是4
故答案為：4

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角．