Question

在直線l：x+y-4=0上任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且以雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓．
（1）M點(diǎn)在何處時(shí)，所求橢圓長(zhǎng)軸最短； 
（2）求長(zhǎng)軸最短時(shí)的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)F₂關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F₂'（m，n），連結(jié)F₁F₂'，由平面幾何知識(shí)可得F₁F₂'長(zhǎng)就是橢圓長(zhǎng)軸的最小值．再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，聯(lián)解直線方程得到M坐標(biāo)為(

5

2

，

3

2

)，即為滿(mǎn)足橢圓長(zhǎng)軸最短的點(diǎn)M位置；
（2）由（1）的結(jié)論算出2a=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，再根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，O）得c=2，算出b²=6，即可得到所求橢圓方程．

解答：解：（1）雙曲線x2-

y2

3

=1中，a²=1且b²=3，
∴c²=a²+b²=4，
可得雙曲線x2-

y2

3

=1的兩焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
過(guò)F₂向l引垂直線l'：y=x-2，設(shè)F₂關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F₂'（m，n），
則

m+2 2 + n 2 -4=0 n m-2 =-1

，解之得m=4且n=2，得F₂'（4，2）（如圖），
∴直線F₁F₂'的方程為

y-0

2-0

=

x+2

4+2

，化簡(jiǎn)得x-3y+2=0．
由

x-3y+2=0 x+y-4=0.

，解得

x= 5 2 y= 3 2 .

，
∴M(

5

2

，

3

2

)即為滿(mǎn)足橢圓長(zhǎng)軸最短的點(diǎn)；
（2）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由（1）得橢圓長(zhǎng)軸最短時(shí)，2a=|MF₁|+|MF₂|=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，
∵焦點(diǎn)為（±2，O），得c=2，
∴b²=a²-c²=10-4=6，所求橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題求以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸最短的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了直線的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．