Question

（2007•上海模擬）（1）若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為12，求其周長(zhǎng)p的最小值；
（2）若三角形有一個(gè)內(nèi)角為arccos

7

9

，周長(zhǎng)為定值p，求面積S的最大值；
（3）為了研究邊長(zhǎng)a，b，c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值，現(xiàn)有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，則S≤36，但是，其中等號(hào)成立的條件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145與3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面積不存在最大值．
以上解答是否正確？若不正確，請(qǐng)你給出正確的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）稱(chēng)為三角形面積的海倫公式，它已經(jīng)被證明是正確的）

Answer 1

分析：（1）設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為x、12-x，斜邊長(zhǎng)為y，由勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最小值，即得周長(zhǎng)p的
最小值．
（2）根據(jù)周長(zhǎng)p=x+y+

x2+y2-2xy• 7 9

，利用基本不等式求得 xy≤

9

64

p2，再由S=

1

2

xysin(arccos

7

9

)=

2 2

9

xy，求得面積S的最大值．
（3）不正確，由海倫公式化簡(jiǎn)可得16S²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c² ，而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，
則S≤16，故當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)為4

5

，8，4的直角三角形時(shí)，其面積取得最大值16．
另解：S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•8•4•sin90°=16．

解答：解：（1）設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為x、12-x，斜邊長(zhǎng)為y，則y=

x2+(12-x)2

=

2(x-6)2+72

≥6

2

，
∴兩直角邊長(zhǎng)為6時(shí)，周長(zhǎng)p的最小值為12+6

2

．
（2）設(shè)三角形中邊長(zhǎng)為x、y的兩邊所夾的角為arccos

7

9

，則周長(zhǎng)p=x+y+

x2+y2-2xy• 7 9

，
∴p≥2

xy

+

2xy- 14 9 xy

=

8

3

xy

，即xy≤

9

64

p2．
又S=

1

2

xysin(arccos

7

9

)=

2 2

9

xy≤

2

32

p2，∴為

2

32

p2．
（3）不正確．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）² =-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，則S≤16，
其中等號(hào)成立的條件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，則a=4

5

．
∴當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)為4

5

，8，4的直角三角形時(shí)，其面積取得最大值16．
（ 另解：S=

1

2

bcsinA≤

1

2

•8•4•sin90°=16）

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，反余弦函數(shù)的定義，海倫公式的應(yīng)用，三角形中的幾何計(jì)算，屬于中檔題．