【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD, .
(1)證明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大。
【答案】
(1)證明:∵A1O⊥面ABCD,且BD面ABCD,∴A1O⊥BD;
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,A1O∩AC=O,
∴BD⊥面A1AC,且A1C面A1AC,故A1C⊥BD.
在正方形ABCD中,∵ ,∴AO=1,
在Rt△A1OA中,∵ ,∴A1O=1.
設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1,則四邊形A1OCE1為正方形,∴A1C⊥E1O.
又BD面BB1D1D,且E10面BB1D1D,且BD∩E1O=O,
∴A1C⊥面BB1D1D;
(2)解:以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x,y,Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,1,1),
.
由(1)知,平面BB1D1D的一個(gè)法向量 ,
, .
設(shè)平面OCB1的法向量為 ,
由 ,得 ,取z=﹣1,得x=1.
∴ .
則 = .
所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ為 .
【解析】(1)要證明A1C⊥平面BB1D1D,只要證明A1C垂直于平面BB1D1D內(nèi)的兩條相交直線即可,由已知可證出A1C⊥BD,取B1D1的中點(diǎn)為E1 , 通過證明四邊形A1OCE1為正方形可證A1C⊥E1O.由線面垂直的判定定理問題得證.(2)以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出平面OCB1與平面BB1D1D的法向量,利用法向量所成的角求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)滿足.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(3)若函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處,并以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛,假設(shè)該小船沿直線方向以海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇.
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2016年6月英國“脫歐”公投前夕,為了統(tǒng)計(jì)該國公民是否有“留歐”意愿,該國某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽查了50名不同年齡層次的公民,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是贊成“留歐”還是反對“留歐”.現(xiàn)已得知50人中贊成“留歐”的占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:
年齡層次 | 贊成“留歐” | 反對“留歐” | 合計(jì) |
18歲—19歲 | 6 | ||
50歲及50歲以上 | 10 | ||
合計(jì) | 50 |
(1)請補(bǔ)充完整上述列聯(lián)表;
(2)請問是否有97.5%的把握認(rèn)為贊成“留歐”與年齡層次有關(guān)?請說明理由.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量, ,函數(shù),函數(shù)在軸上的截距我,與軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向左平移()個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)的圖象,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為 ,底面是邊長為 的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面A1B1C1所成角的大小為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為,只與道路暢通狀況有關(guān),對其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如圖:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是AB,PD的中點(diǎn),且PA=AD.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求證:平面PEC⊥平面PCD.
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