【題目】已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.
(1)求橢圓的方程:
(2)若是橢圓上的動點,求的取值范圍;
(3)直線:與橢圓交于異于橢圓頂點的,兩點,為坐標(biāo)原點,直線與橢圓的另一個交點為點,直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點.若直線,的斜率分別為,試判斷,是否為定值,若是,求出該定值;若不是,說明理由.
【答案】(1) ;(2) ; (3)是定值,為0.
【解析】
(1)由題意可知:,解這個方程組即可;
(2)把橢圓的方程化為參數(shù)方程,根據(jù)輔助角公式可以求出的取值范圍;
(3)直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系,可以判斷出為定值.
(1)因為以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.所以有,解得,所以橢圓的方程為:
(2)橢圓橢圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)且).
因為是橢圓上的動點,
所以,其中.
.
(3)設(shè),則,.直線:與橢圓的方程聯(lián)立為:消去得
,由根與系數(shù)關(guān)系可得:
直線的方程為:,令,因為,所以.
。
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題 : 表示雙曲線,命題 : 表示橢圓。
(1)若命題與命題 都為真命題,則 是 的什么條件?
(請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個)
(2)若 為假命題,且 為真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),直線與曲線分別交于兩點.
(1)若點的極坐標(biāo)為,求的值;
(2)求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動點分別與兩個定點,的連線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點的直線與軌跡交于,兩點,判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐D-ABC中,二面角A-BC-D的大小為90°,且∠BDC=90°,∠ABC=30°,BC=3,.
(1)求證:AC⊥平面BCD;
(2)二面角B-AC-D為45°,且E為線段BC的中點,求直線AE與平面ACD所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在處的切線方程為,求的值;
(2)若為區(qū)間上的任意實數(shù),且對任意,總有成立,求實數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 1級優(yōu) | 2級良 | 3級輕度污染 | 4級中度污染 | 5級重度污染 | 6級嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.
(1)以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為估計2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良?
(2)從這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,求恰好有一天空氣質(zhì)量良的概率;
(3)從這10天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記表示抽取空氣質(zhì)量良的天數(shù),求的分布列和期望.
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