Question

已知點P是拋物線y²=2x上的動點，過點P作y軸垂線PM，垂足為M，點A的坐標(biāo)是A(

7

2

，4)，則|PA|+|PM|的最小值是（　�。�

• A．

  11

  2

• B．4
• C．

  9

  2

• D．5

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程得到拋物線焦點為F（

1

2

，0），并且作出它的準(zhǔn)線：x=-

1

2

，延長PM交準(zhǔn)線于點N，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義可得得：|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

．再由三角形兩邊之和大于第三邊可得：P點滿足|PA|+|PF|≥
|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)點P落在線段AF上時，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，最后根據(jù)兩點的距離公式得到|PA|+|PF|的最小值為5，同時|PA|+|PM|取到最小值5-

1

2

=

9

2

．

解答：解：∵拋物線方程為y²=2x
∴拋物線的焦點為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線為x=-

1

2

延長PM交準(zhǔn)線于點N，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義得：|PF|=|PN|
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

當(dāng)P點不在AF上時，有|PA|+|PF|＞|AF|；
當(dāng)P點剛好落在AF上時，有|PA|+|PF|=|AF|
∴P點滿足|PA|+|PF|≥|AF|，
當(dāng)且僅當(dāng)點P落在線段AF上時，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值為

( 7 2 -  1 2 )2+(4-0) 2

=5，
同時|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

=

9

2

故選C

點評：本題給出拋物線上一個動點P在y軸上的射影點為M，求點P到M點和A（3.5，4）的距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)和兩點間的距離公式等知識點，屬于中檔題．