Question

已知探照燈的軸截面是拋物線x＝y(tǒng)²，如圖所示，表示平行于對(duì)稱軸y＝0(即x軸)的光線于拋物線上的點(diǎn)P、Q的反射情況．設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a(a＞0)，則a取何值時(shí)，從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的光線的路程PQ最短？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由題設(shè)知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a²，a)，故直線PQ的方程為y＝(x－)，即4ax－(4a²－1)y－a＝0．

　　解方程組得y＝或y＝a．

　　由此可知，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(，－)．

∴｜PQ｜＝｜PF｜＋｜FQ｜＝a²＋＋(a＞0)．

　　利用均值不等式．有｜PQ｜＝(a²＋)＋≥2＝1．當(dāng)且僅當(dāng)a²＝，即a＝時(shí)，上式等號(hào)成立．

　　∴入射點(diǎn)為(，)，反射點(diǎn)為(，－)時(shí)．路程PQ最短，這時(shí)P、Q恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，PQ為拋物線的通徑．

　　分析：光源置于拋物鏡面的焦點(diǎn)處，光線經(jīng)拋物鏡面反射成一束平行光線射出，這是拋物線的光學(xué)性質(zhì)，因此入射光線與反射光線成平行狀態(tài)，那么光線PQ必過拋物線y²＝x的焦點(diǎn)F(，0)，于是可解．

　　點(diǎn)評(píng)：本題利用拋物線的幾何性質(zhì)將買際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后又進(jìn)一步運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)及不等式的性質(zhì)求解．