Question

【題目】已知數列{an}滿足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）求實數t，使得bn= （an+t）（n∈N*）且{bn}為等差數列；
（3）在（2）條件下求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=2時，a2=3a1+8，

當n=3時，a3=3a3+33﹣1=95，

∴a2=23，

∴23=3a1+8，

∴a1=5

（2）解：當n≥2時，bn﹣bn﹣1= （an+t）﹣ （an﹣1+t）= （an+t﹣3an﹣1﹣3t）= （3n﹣1﹣2t）．

要使{bn}為等差數列，則必須使1+2t=0，

∴t=﹣ ，

即存在t=﹣ ，使數列{bn}為等差數列

（3）解：∵當t=﹣ ，時，數列{bn}為等差數列，且bn﹣bn﹣1=1，b1= ，

∴bn= +（n﹣1）=n+ ，

∴an=（n+ ）3n+ ，

于是，Sn= ×3+ 32+…+ 3n+ ×n，

令S=3×3+5×32+…+（2n+1）3n，①

3S=3×32+5×33+…+（2n+1）3n+1，②

①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+23n﹣（2n+1）3n+1，②

化簡得S=n3n+1，

∴Sn= + = ，

數列{an}的前n項和Sn，Sn=

【解析】（1）當n=2時，a2=3a1+8，當n=3時，a3=3a3+33﹣1=95，可得a2=23，代入即可求得a1=5；（2）由等差數列的性質可知：bn﹣bn﹣1= （an+t）﹣ （an﹣1+t）= （an+t﹣3an﹣1﹣3t）= （3n﹣1﹣2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值；（3）由等差數列的通項公式可得bn= +（n﹣1）=n+ ，求得an=（n+ ）3n+ ，采用分組求和及“錯位相減法”即可求得數列{an}的前n項和Sn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：或，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．