Question

【題目】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐O﹣ABCD中，BC⊥平面OAB，E為OB中點，OA=AD=2AB=2，OB= ．

（1）求證：平面OAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC⊥平面OAB，OA平面OAB，

∴OA⊥BC，

又OA=2AB=2，OB= ，

在△OAB中，OA2+AB2=OB2，

∴OA⊥AB，

∴OA⊥平面ABCD，

又OA平面OAD，∴平面OAD⊥平面ABCD

（2）解：由（1）知OA，AB，AD兩兩垂直，

以A為坐標原點，分別以AD，AB，AO所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，

則A（0，0，0），C（2，1，0），O（0，0，2），B（0，1，0），E（0， ，1），

=（2，1，0）， =（0， ，1），

設平面AEC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣2，1），

又平面ABC的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值為 ．

【解析】（1）由已知得OA⊥BC，OA⊥AB，從而OA⊥平面ABCD，由此能證明平面OAD⊥平面ABCD；（2）以A為坐標原點，分別以AD，AB，AO所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．